1. 군(Group)과 환(Ring)
1.1 군(Group)
군(Group)은 어떤 집합 G에 단 하나의 이항 연산(⋆)이 정의되어 있고, 다음 네 가지 공리를 만족하는 대수적 구조입니다.
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닫힘성
임의의 두 원소 a, b가 G에 속하면, 연산 결과 a ⋆ b도 G에 속해야 합니다.
a, b ∈ G &Rightarrow a ⋆ b ∈ G -
결합법칙
임의의 a, b, c ∈ G에 대해, $$(a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c).$$ -
항등원(identity)의 존재
G 안에는 모든 원소와 연산했을 때 자기 자신을 돌려주는 항등원 e가 존재합니다. $$a ⋆ e = e ⋆ a = a \quad \forall a ∈ G.$$ -
역원(inverse)의 존재
각 원소 a에 대해, a와 연산해서 항등원 e를 만들어주는 원소 a-1이 존재합니다. $$a ⋆ a^{-1} = a^{-1} ⋆ a = e.$$
예시:
정수의 집합 ℤ와 덧셈 연산(+)을 고려하면, 항등원은 0이고, 각 정수 a의 역원은 -a입니다.
따라서 (ℤ, +)는 군(Group)이 됩니다.
1.2 환(Ring)
환(Ring)은 두 가지 이항 연산(일반적으로 덧셈과 곱셈)을 가진 대수 구조로서, 다음 성질들을 만족해야 합니다.
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덧셈에 대해 아벨 군
- 덧셈은 닫혀 있습니다 (a + b가 항상 집합 내 원소).
- 결합법칙: $$(a + b) + c = a + (b + c).$$
- 교환법칙: $$a + b = b + a.$$
- 항등원(보통 0)과 각 원소의 덧셈 역원(음수)이 존재합니다.
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곱셈에 대한 조건
- 곱셈 연산도 닫혀 있습니다 (ab가 항상 집합 내 원소).
- 항등원(일반적으로 1)이 존재합니다.
- 결합법칙: $$(ab)c = a(bc).$$
- 분배법칙: $$a(b+c) = ab + ac,\quad (a+b)c = ac + bc.$$
주의: 곱셈에 대한 역원(나눗셈)이 모든 0이 아닌 원소에 대해 존재할 필요는 없습니다. 만약 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가지면 나눗셈 환(Division Ring), 그리고 곱셈이 가환이라면 체(Field), 비가환이면 스큐 필드(Skew Field)라고 합니다.
예시:
정수 ℤ, 유리수 ℚ, 실수 ℝ, 복소수 ℂ 등은 모두 덧셈과 곱셈에 대해 환(Ring)의 성질을 만족합니다.
그중 ℤ는 모든 원소가 곱셈 역원을 갖지 못하므로(예: 2의 역원은 정수가 아님) 체가 아니지만,
ℚ, ℝ, ℂ 등은 0이 아닌 모든 원소에 곱셈 역원이 존재하므로 체(Field)입니다.
2. 사원수(Quaternion)
2.1 사원수의 정의
사원수(Quaternion)는 다음과 같은 형태로 표현되는 4차원 수입니다.
$$ q = a + b\,i + c\,j + d\,k \quad (a, b, c, d ∈ \mathbb{R}). $$여기서 i, j, k는 서로 독립적인 허수 단위로서 다음 곱셈 규칙을 가집니다.
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, $$ $$ ij = k, \quad ji = -k,\quad jk = i,\quad kj = -i,\quad ki = j,\quad ik = -j. $$이러한 사원수 전체의 집합을 ℍ라고 하면, 덧셈과 곱셈에 대해 환(Ring)의 성질을 만족하기 때문에 이를 “사원수환(Quaternion Ring)”이라고 부릅니다.
2.2 사원수에서의 기본 연산
사원수 $$ q_1 = a_1 + b_1\,i + c_1\,j + d_1\,k,\quad q_2 = a_2 + b_2\,i + c_2\,j + d_2\,k $$ 가 주어졌을 때, 주요 연산들은 다음과 같습니다.
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덧셈
$$q_1 + q_2 = (a_1 + a_2) \;+\; (b_1 + b_2)\,i \;+\; (c_1 + c_2)\,j \;+\; (d_1 + d_2)\,k.$$ -
곱셈 (비가환성)
$$q_1 q_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)\,i$$ $$\quad + (a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)\,j + (a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)\,k.$$일반적으로 $$q_1 q_2 \neq q_2 q_1$$ 가 성립하므로, 사원수 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는 예시입니다.
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노름(Norm), 켤레(Conjugate)
노름(Norm)은
$$\|q\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2},$$켤레(Conjugate)는
$$\bar{q} = a - b\,i - c\,j - d\,k.$$만약 $$\|q\| \neq 0$$ 이라면(즉, $$q \neq 0$$), $$q$$의 곱셈에 대한 역원은 다음과 같이 주어집니다.
$$q^{-1} = \frac{\bar{q}}{\|q\|^2}.$$이는 $$q \bar{q} = \bar{q} q = \|q\|^2$$ 이기 때문인데, 실제로 $$q \bar{q}$$ 를 전개하면 $$q \bar{q} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \|q\|^2$$ 임을 확인할 수 있습니다.
3. 사원수군(Quaternion Group) \(Q_8\)
사원수의 특정 부분집합으로, 원소가 8개 뿐인 Quaternion Group \(Q_8 = \{\pm 1,\;\pm i,\;\pm j,\;\pm k\}\) 가 있습니다.
이 집합은 곱셈 연산(·) 하나만 정의해도 군(Group)이 되는데, 다음 관계들을 만족하기 때문입니다.
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. $$4. 행렬 표현과 기하학적 해석
4.1 3차원 회전과의 관계
길이가 1인 단위 사원수 \(q\)를 $$ q = \cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) \;+\; \sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\,(u_x\,i + u_y\,j + u_z\,k) $$ 라 하겠습니다. 여기서 \(\theta\)는 회전각, \((u_x, u_y, u_z)\)는 단위벡터(회전축)입니다. 즉, \(u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1\).
(1) 3차원 벡터 v를 순수 사원수(실수부가 0)로 생각하면, 단위 사원수 q와 그 켤레 \(\bar{q} = \cos(\tfrac{\theta}{2}) - \sin(\tfrac{\theta}{2})(u_x\,i + u_y\,j + u_z\,k)\)를 사용하여 아래처럼 v를 회전시킬 수 있습니다.
$$ \mathbf{v}' = q \,\mathbf{v}\,\bar{q}. $$(2) 이렇게 하나의 회전을 두 번, 세 번, 총 \(n\) 번 반복 적용하면,
$$ \mathbf{v}^{(n)} = q^n \,\mathbf{v}\,(\bar{q})^n, $$이 됩니다. 실제로 q를 $$\cos(\tfrac{\theta}{2}) + \sin(\tfrac{\theta}{2})(u_x\,i + u_y\,j + u_z\,k)$$ 라고 하면, $$q^n$$ 은 $$ q^n = \cos\bigl(\tfrac{n\theta}{2}\bigr) \;+\; \sin\bigl(\tfrac{n\theta}{2}\bigr)\,(u_x\,i + u_y\,j + u_z\,k), $$ 꼴로 표현되어, 축은 동일하고 회전각만 \(n\theta\)가 됨을 알 수 있습니다.
4.2 행렬 표현
단위 사원수 \(q = w + x\,i + y\,j + z\,k\)에 해당하는 3차원 회전은, 아래와 같은 3×3 정규직교행렬 \(R(q)\)로도 나타낼 수 있습니다.
$$ R(q) = \begin{pmatrix} 1 - 2(y^2 + z^2) & 2(xy - wz) & 2(xz + wy) \\ 2(xy + wz) & 1 - 2(x^2 + z^2) & 2(yz - wx) \\ 2(xz - wy) & 2(yz + wx) & 1 - 2(x^2 + y^2) \end{pmatrix}, $$여기서 \(w = \cos\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\), \((x,y,z) = \sin\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\,(u_x,u_y,u_z)\)입니다. 따라서 3차원 벡터 \(\mathbf{v}\)의 회전 결과는 \(\mathbf{v}' = R(q)\,\mathbf{v}\)로도 동일하게 표현됩니다.
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